inteiros positivos). ˆ Uma matriz com m linhas e n colunas diz-se do tipo m n. Se m = n ( matriz quadrada), também se diz que a matriz é de ordem n.

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1 Matrizes noções gerais e notações Definição Designa-se por matriz de números reais a um quadro do tipo a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn onde os elementos a ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) são números reais (m e n são números inteiros positivos). ˆ os índices que afectam os elementos a ij da matriz genérica da definição dão-nos a posição dos elementos na matriz: o índice i (1º índice) indica a linha e o índice j (2º índice) indica a coluna. Assim: numa matriz as filas horizontais são as linhas da matriz e as filas verticais são as colunas da matriz (m representa o número de linhas e n representa o número de colunas). a ij designa o elemento da matriz que está na linha i e na coluna j, ou na entrada (i, j). ˆ Uma matriz com m linhas e n colunas diz-se do tipo m n. Se m = n ( matriz quadrada), também se diz que a matriz é de ordem n. Exemplos: 3. [ matriz 1 4 B = C = matriz 3 1 matriz 3 2 1

2 4. D = matriz 4 4, ou de ordem 4 d 22 = 3 d 32 = 7 está na 2ª linha e na 2ª coluna ou está na entrada (2, 2) está na 3ª linha e na 2ª coluna ou está na entrada (3, 2) da matriz D da matriz D a 11 a a 1n a 21 a a 2n A matriz genérica também se representa por [a ij i=1, 2,..., m a m1 a m2... a mn j=1, 2,..., n Com esta notação, ficamos a saber que A representa uma matriz de elemento genérico a ij, com m linhas (i = 1, 2,..., m) e n colunas (j = 1, 2,..., n), ou seja, do tipo m n. Definição Seja A uma matriz do tipo m n. Chama-se submatriz de A a uma matriz do tipo r s (r m, s n) cujas linhas e colunas estão contidas em r linhas e s colunas de A, respectivamante. Seja São submatrizes de A: [ [

3 4. [ [ 2 4 Não são submatrizes de A: , pois a coluna não está contida em nenhuma coluna de A [ , pois a linha [ não está contida em nenhuma linha de A Matrizes especiais ˆ Uma matriz do tipo 1 n diz-se uma matriz-linha; ˆ Uma matriz do tipo m 1 diz-se uma matriz-coluna; ˆ Uma matriz do tipo m n, com m n, diz-se uma matriz rectangular; ˆ Uma matriz do tipo m n, com m = n, diz-se uma matriz quadrada (matriz de ordem n); ˆ Uma matriz de qualquer tipo, cujos elementos são todos nulos, diz-se uma matriz nula. Representação: 0 m n matriz nula do tipo m n 0 n matriz nula de ordem n Exemplos: [ matriz-linha 3

4 B = matriz-coluna 3. C = [ matriz quadrada (de ordem 2) D = [ = [ matriz rectangular matriz nula = [ matriz nula (de ordem 2) Matrizes quadradas mais alguns conceitos Seja [a ij i=1, 2,..., n j=1, 2,..., n uma matriz quadrada de ordem n. ˆ Os elementos a ii, i = 1, 2,..., n, chamam-se elementos principais de A e formam a diagonal principal de A. { ˆ superior A matriz A diz-se triangular se são iguais a zero todos os elementos { inferior abaixo situados da diagonal principal. acima ˆ Se os elementos não principais de A são todos iguais a zero, diz-se que A é uma matriz diagonal. ˆ Se A é uma matriz diagonal cujos elementos principais são todos iguais, diz-se que A é uma matriz escalar. ˆ Se A é uma matriz escalar cujos elementos principais são iguais a 1, diz-se que A é a matriz identidade de ordem n. Representa-se por I n. 4

5 Exemplos: matriz triangular inferior; elementos principais: 1, 3, 0 B = matriz triangular superior; elementos principais: 8, 4, 1 3. C = matriz diagonal (matriz simultaneamente triangular superior e triangular inferior) 4. D = matriz escalar 5. I 4 = matriz identidade de ordem 4 6. I 2 = [ matriz identidade de ordem 2 5

6 Álgebra de matrizes Definição As matrizes [a ij e B = [b ij dizem-se iguais, e escreve-se B, se são do mesmo tipo (ou seja, têm o mesmo número de linhas e de colunas) e os seus elementos homólogos são iguais, isto é, a ij = b ij, i, j. elementos homólogos ocupam a mesma posição na matriz A e na matriz B [ , B = [ , C = [ B; A C; B C Adição de matrizes Sejam A e B matrizes do tipo m n. A + B é uma matriz do tipo m n, cujos elementos se obtêm por adição dos elementos homólogos em A e B. Exemplos: [ , B = [ [ A+B = [ = [ ( 8) ( 1) = [ [ , B = Não é possível adicionar A e B, pois não são matrizes do mesmo tipo. Propriedades: Sejam A, B e C matrizes do tipo m n. 6

7 A + B = B + A (propriedade comutativa) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade associativa) 3. A + O m n = A (O m n é o elemento neutro para a adição de matrizes) Multiplicação de uma matriz por um escalar Seja [a ij uma matriz do tipo m n e λ um número real (λ é um escalar). O produto do escalar λ por A, λ A, é a matriz do tipo m n obtida multiplicando cada elemento de A por λ. [ [ Propriedades: Sejam A e B matrizes do tipo m n, λ e µ escalares. λ (A + B) = λ A + λ B (λ + µ) λ A + µ A 3. λ (µ A) = (λ µ) A exemplo: 2 (3 A) = 6A 4. 1 A Definição Chama-se matriz simétrica de A à matriz 1 A. Observe-se que: A m n A m n : A + ( A) = A + O m n (existência de simétrico) Subtracção de matrizes Sejam A e B matrizes do mesmo tipo. A subtracção de matrizes define-se como A B = A + ( B). Em geral, tem-se: A B B A [A B = (B A) 7

8 Exemplos: [ A B = [ , B = , B [ [ [ [ C =, D = [ [ [ C 3D = = Multiplicação de matrizes Sejam [a ij uma matriz do tipo m p e B = [b ij uma matriz do tipo p n. A matriz produto A B = C = [c ij é uma matriz do tipo m n tal que Exemplos: c ij = a i1 a i2... a ip }{{} linha i de A b 1j b 2j. b pj }{{} coluna j de B = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ip b pj i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n [ [ = [ = [ [ [ = [ = [ [ [ = [ = [

9 Notas: ˆ Atendendo ao modo como se efectua a multiplicação de matrizes, conclui-se que a matriz produto A B tem tantas linhas como A e tantas colunas como B. ˆ Só é possível efectuar a multiplicação A B se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. [ , B = Não é possível efectuar a multiplicação A B, pois nº colunas de A nº linhas de B Propriedades: Sejam A e B matrizes do tipo m p e p n, respectivamente. (A B) C = A (B C), com C matriz do tipo n t A }{{} (B ± C) = A }{{} B ± A }{{} C, com C matriz do tipo p n lado esquerdo lado esquerdo lado esquerdo (B ± C) D }{{} tipo n q lado direito = B D }{{} lado direito ± C D }{{} lado direito, com C matriz do tipo p n e D matriz do 3. λ (A B) = (λ A) B = A (λ B), λ R 4. A 0 p n = 0 m n e 0 t m 0 t p 5. A I p = A e I m A De notar que se A é uma matriz de ordem n, ˆ A I n = I n A ˆ A 0 n = 0 n 0 n (existência de elemento neutro) (existência de elemento absorvente) 9

10 Observações: ˆ Se A é do tipo m p e B do tipo p n, com m n, pode calcular-se A B mas não B A, pelo que a multiplicação de matrizes não goza da propriedade comutativa. ˆ Quando m = n, os produtos A B e B A são ambos possíveis, mas geralmente A B B A. Exemplos: [ 1 2 [ 3, B = A B = [ 5 [ 3 6, B 4 8 [ [ , B = [ [ A B =, B Portanto, em geral, A B B A. Mas pode acontecer a igualdade; então: Definição As matrizes A e B tais que A B = B A dizem-se matrizes permutáveis ou comutáveis. [ [ , B = [ [ [ A B = = [ [ [ B = A e B são matrizes permutáveis. 10

11 Mais algumas observações acerca do produto de matrizes: ˆ A lei do anulamento do produto dos números reais (em R: se a b = 0, então a = 0 ou b = 0) não se generaliza ao produto de matrizes. De um modo geral, A m p B p n = 0 m n não implica A m p = 0 m p ou B p n = 0 p n. A B = [ [ 0 1, B = [ 1 0 = 0 2 e, no entanto, A 0 2, B 0 2 ˆ A lei do corte dos números reais (em R: se a 0 e a b = a c, então b = c) não se generaliza ao produto de matrizes. De um modo geral, A B = A C não implica B = C. [ 1 0 A B = A C =, B = [ [ 1 0, C = [ = 0 2 = 0 2 e, no entanto, B C Associada à multiplicação de matrizes está a Potenciação de matrizes Definição A potência de ordem k (k N) da matriz A (quadrada), A k, é dada por A k = A A... A }{{} k factores Nota: Por definição, tem-se que }{{} A 0 = I n, com n a ordem da matriz A. potência de ordem 0 11

12 Exemplos: A 2 = = B 3 = [ [ 2 1 B = 1 3 [ [ = [ Transposição de matrizes (não tem analogia com qualquer operação aritmética) Definição Chama-se matriz transposta da matriz A à matriz cujas colunas são as linhas de A (pela mesma ordem). Representa-se por A T. Observe-se que se A é do tipo m n, A T é do tipo n m. [ A T = Propriedades: (A ± B) T = A T ± B T, com A e B matrizes do mesmo tipo (A T ) T = A 3. (AB) T = B T A T, com A matriz do tipo m p e B matriz do tipo p n 4. (λ A) T = λ A T, λ R a transposição só afecta as matrizes (não afecta os escalares) 5. (A k ) T = (A T ) k, k N exemplo: (A 5 ) T = (A T ) 5 12

13 Nota: A propriedade 3 generaliza-se a produtos de três ou mais matrizes. Por exemplo: (ABC) T = C T B T A T (ABCD) T = D T C T B T A T Definição Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A T = A. A T = = A, pelo que A é simétrica. Observação: Só as matrizes quadradas podem ser simétricas (ser quadrada é, portanto, uma condição necessária para ser simétrica). 13